给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

解题思路

• 对于 m x n 网格 grid ，可以用数组 grid[n][m] 表示
  • n 表示有多少行，m 表示有多少列
  • grid[0][m] 表示第一行 ，grid[n][0] 表示第一列

要到达第 n 行第 m 列，只能是从其上方（n 行 m-1 列）或其左方（ n-1 行 m 列）过来

动态规划

• 定义状态： dp[n-1][m-1] 就是到达第 n 行第 m 列的最小数字和
• 基础情况： dp[0][0] = grid[0][0]
• 转移方程：分三种情况：
  • 对于首行，只能从左边过来：dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
  • 对于首列，只能从上方过来：dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
  • 对于剩下的，既可以从上方过来，也可以从左边过来，取最小值：dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

Java 实现

    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int m = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[n][m];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 初始化首行
        for (int j = 1; j < m; j++){
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        }
        // 初始化首列
        for (int i = 1; i < n; i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        // 剩余部分
        for (int i = 1; i < n; i++){
            for (int j = 1; j < m; j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n-1][m-1];
    }