给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。

例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

解题思路

在数学上，一个数 n = n - m + m ， m 可以写成 j*j，于是有 n = n - j*j + j+j

• 定义状态：dp[i] 是和为 i 的完全平方数最少数量
• 最坏情况：n = 1+1+1+...，所以最坏情况是 dp[i] = n
• 思路：需要两层循环，第一层遍历 i 直到到达 n， 第二层是找第一层 i 所有可能的完全平方数 j*j
• 转移方程：dp[i] = 在所有可能的完全平方数中（j*j < i）：
  • 要么选择上一个状态 dp[i-j*j] 最小的 ，再加上一个 j*j 这 1 个数字， 也就是 dp[i-j*j] + 1
  • 要么不选择就是 dp[i]

或者这样理解：如果这个环节选择了 j*j 这个数，那为了凑齐和为 i ，剩下的数字是 i-j*j ，所以只要求 dp[i-j*j] 再加上这一环节的这个数，就得到 dp[i] 的解了

Java 实现

    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        // 最坏情况初始化，最坏情况全1相加， 比如 3 = 1+1+1
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i] = n;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 对所有可能的完全平方数，取最小的
            // 例如对于 i = 12 来说，可能的 j 为 1*1【1】、 2*2【4】、 3*3【9】
            // 那么就在 dp[i-1*1] 、 dp[i-2*2]、 dp[i-3*3] 三个结果中选最小的
            for (int j = 1; j*j <= i; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-j*j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }