整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 向左旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 下标 3 上向左旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出：-1

示例 3：

输入：nums = [1], target = 0
输出：-1

题目解析

题目给定了一个旋转排序数组 nums 和一个目标值 target。所谓的“旋转排序数组”，是指一个原本严格升序的数组，从中间某个未知的位置断开，把前半段平移到了数组的末尾（例如 [0,1,2,4,5,6,7] 变成了 [4,5,6,7,0,1,2]）。数组中的元素都是唯一的。

我们需要在这个旋转过的数组中寻找目标值 target 的下标。找到返回下标，找不到返回 -1。题目明确要求算法的时间复杂度必须为 O(log n)。

解题思路

时间复杂度要求限制在了 O(log n)，这说明必须要通过**二分查找（Binary Search）**来解决。

常规的二分查找要求数组完全有序，但这个数组在某个位置发生了旋转。不过，只要我们将这个数组从中间 mid 位置一分为二，这两个子数组中，一定至少有一个是完全有序的。

举个例子，对于数组 [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]：

• 若在 mid = 3（值为 7）劈开，左边 [4, 5, 6, 7] 是完全有序的，右边 [0, 1, 2] 也是有序的。
• 若在 mid = 1（值为 5）劈开，左边 [4, 5] 是完全有序的，右半边 [6, 7, 0, 1, 2] 包含了旋转点。
• 若在 mid = 5（值为 1）劈开，右边 [1, 2] 是完全有序的，左半边 [4, 5, 6, 7, 0] 包含了旋转点。

利用“局部有序”的特性，我们可以对常规二分查找做如下改造：

1. 找出中间元素 nums[mid]，若正好与 target 相等，直接返回。
2. 比较 nums[left] 和 nums[mid] 的大小：
   • 如果 nums[left] <= nums[mid]：说明左半部分是完全有序的（严格递增）。
     • 此时，我们判断 target 是否落在这个完全有序的左半区间内（即 nums[left] <= target < nums[mid]）。
     • 如果落在，说明 target 就在左半部分，我们将搜索区间缩小到 [left, mid - 1]。
     • 如果没落在，说明 target 在右半部分，我们将搜索区间缩小到 [mid + 1, right]。
   • 否则（即 nums[left] > nums[mid]）：说明右半部分是完全有序的。
     • 此时，我们判断 target 是否落在这个完全有序的右半区间内（即 nums[mid] < target <= nums[right]）。
     • 如果落在，说明 target 就在右半部分，我们将搜索区间缩小到 [mid + 1, right]。
     • 如果没落在，说明 target 在左半部分，我们将搜索区间缩小到 [left, mid - 1]。
3. 重复以上步骤，直到 left > right，说明找不到，返回 -1。

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(\log n)$。每次迭代搜索范围都缩小一半，符合题目要求。
• 空间复杂度：$O(1)$。只需要常数级别的额外指针空间。

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Java 实现

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        // 如果数组为空或者长度为0，直接返回 -1
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return -1;
        }

        // 定义二分查找的左右边界
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;

        // 当 left <= right 时，表示搜索区间仍有效
        while (left <= right) {
            // 计算中间索引，防止 left + right 导致的整型溢出
            int mid = left + (right - left) / 2;

            // 如果刚好找到目标值，直接返回
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }

            // 判断哪一部分是有序的
            // 如果 left 到 mid 是有序的 (注意这里的 <= 是必须的，当 left == mid 时算作有序)
            if (nums[left] <= nums[mid]) {
                // 判断 target 是否落在这个有序的左半区间内
                if (nums[left] <= target && target < nums[mid]) {
                    // 如果在，把搜索区间缩小到左半部分
                    right = mid - 1;
                } else {
                    // 如果不在，只能去右半部分寻找
                    left = mid + 1;
                }
            } 
            // 否则，mid 到 right 必定是有序的
            else {
                // 判断 target 是否落在这个有序的右半区间内
                if (nums[mid] < target && target <= nums[right]) {
                    // 如果在，把搜索区间缩小到右半部分
                    left = mid + 1;
                } else {
                    // 如果不在，只能去左半部分寻找
                    right = mid - 1;
                }
            }
        }

        // 遍历完如果没有找到，返回 -1
        return -1;
    }
}