如何从零开始造一台计算机
加法计算是计算机唯一要做的工作。
最近在读 Charles Petzold 的《编码——隐匿在计算机软硬件背后的语言》，英文书名是《Code：The Hidden Language of Computer Hardware and Software》。作者的文笔可谓是轻松风趣，第一页那句“众所周知，手电筒是为了让孩子们能够躲在被子下看书而发明的”就让我产生极大兴趣。读来发觉这本书实际上就是从最基本的电学开始讲起，一步步地揭开一台原始的计算机是如何诞生的这一神秘面纱。同时这本书也帮助我补充了不少数字电路和组成原理的知识，也算是补补基础了。下面是一些笔记。
编码与组合
《美国传统英语词典》对编码的其中一个定义是：由被赋予了一定主观意义（arbitrary meanings）的符号、字母以及单词所组成的系统，可用于传输需要 保密或简短 的信息。本质上，编码就是交流。从计算机的角度看，编码是一种人与机器传递信息的方式。莫尔斯电码就是一种经典的编码，用点（dot）和划（dash）的组合来对应不同的字母。例如，求救信号SOS就是一个易于记忆的莫尔斯电码（··· — ···）。
事实上，两个不同的事物，只要经过适当的组合，就可以表示所有类型的信息。而组合的长度，就决定了码字的数目。例如，长度为 1 的组合只能表示 2 种码字（单个点或者单个划），长度为 2 的组合能表示 4 种码字（点点、点划、划点、划划）。实践中我们发现，点和划的数目跟码字的数目的函数关系为 2 的幂次方，如下表：
| 点和划的数目 | 码字的数目 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 (2^2) |
| 3 | 8 (2^3) |
| 4 | 16 (2^4) |
| 5 | 32 (2^5) |
| 6 | 64(2^6) |
| n | 2^n |
优先码
路易斯·布莱叶（Louis
Braille）是19世纪法国的一个盲人，他改良的盲文实际上是一种6位的二进制码（6个点），从上表可以知道，6个点可以有64种可能的编排方式。布莱叶盲文中有很大一部分码字会根据上下文的不同有着双重身份，例如，某一个位置的点点上了，就代表数字标识状态，不点上，就切换回字母。这跟我们键盘的 Caps Lock 键很像，按下 Caps Lock 键，输入的就是大写字母，否则是小写。像这样的编码通常称作优先码(precedence codes) 或 换挡码（shift codes）。
进制
在我们熟悉的十进制中，数字3572表示2个1 + 7个10 + 5个100 + 3个1000。而在八进制中数字3572表示2个1 + 7个8 + 5个64 + 3个512 。百位是个位和十位的乘的结果。在二进制中，位数从右到左，依次为1的个数，2的个数，4的个数，8的个数……例如，1101表示1个1 + 0个2 + 1个4 + 1个8，结果为十进制的13。之所以在计算机中要用二进制，是从电报机或者灯泡中得到的启示——开/关即可传递信息，再用它们的组合来编码。
电报机和继电器
在线路的一端采取一些措施，使线路的另一端发生某种变化，能够实现这种功能的机器就是一个简易的电报机。电磁铁是电报机的基础，在一根铁棒上面用细导线绕几百圈，然后给导线通电，这根铁棒就成了电磁铁。用一个开关和电池来给导线通电，导线一直铺设到远处，一旦通电，远处的铁棒就有了磁性，磁力把旁边的活动横杠拉动，发出“滴”的声音。这样的设备，就是一个电报机。
我们知道，导体越长，电阻越大。如果电报机两端的距离很远，电阻很大以至于电池不足以提供足够的电流。这时候就要用到继电器了，继电器用传进来的电流去驱动电磁铁，拉动金属杠，金属杠又作为一个新的开关，连接了新的电池和导线，传递到另一个远处。这样，我们就可以用多个继电器来延长电报机的传输距离。
继电器就是这样一种用于放大微弱信号来生成强信号的机器。继电器是需要供电的。
布尔代数和逻辑表达式
布尔代数是19世纪英格兰数学家乔治·布尔提出的数学理论。传统的代数，操作数代表数字，算子(+、-、×、÷)表示如何运算，而在布尔代数的世界里，操作数是类（class），一个类就是一个事物的群体，也被称为集（set）。“+”表示并集（∪），“×”表示交集（∩）。如果用F表示雌猫，用W表示白猫，那么 F×W 表示白色的雌猫。为了方便，我们用大写英文 OR 来代替“+”，用 AND 代替“×”，用 NOT 代替 “1-”（从全集中去掉某些元素）。
如果我们用F表示雌猫，M表示雄猫，W表示白猫，B表示黑猫。现在我们想得到白色的雌猫，在备选项F、M、W、B的一些表达式中，F和W可以用 1 表示，而其他选项为 0 。这种表示大大简化了表达式。
有了布尔代数和逻辑表达式及其简化表示之后，我们就可以用灯泡、导线、开关来制造我们的AND、OR、NOT计算器了。这其实就是计算机的原型。
逻辑门
我们可以给由灯泡、导线、开关组成的电路加多几个支路和开关，以实现更加复杂的功能。比如，闭合两个开关灯泡才会亮的 AND 逻辑电路，闭合两个中的任意一个开关灯泡就会亮的 OR 逻辑电路，以及不闭合开关灯泡才会亮的 NOT 电路。
但是要实现更加复杂的功能，就得用到继电器了。继电器可以作为一个电流控制而非人工控制的开关，我们用不同的接法连接继电器，最终就能实现不同的效果。比如我们串联两个继电器，继电器A的电源开关打开，继电器B的电源开关也打开，然后在起始段通电，这样，电流从起始端到继电器A，再到继电器B，最后到灯泡，导致灯泡亮。而灯泡亮的必要条件是继电器A和继电器B的开关都打开，实际上这就是一个 AND 逻辑电路。
同样，我们可以换一种接法，实现 OR 或 NOT 逻辑电路。再把简单逻辑电路组合成复杂逻辑电路，实现各种各样的功能。
在数字电路中，有与门、或门、与非门、或非门四种逻辑门和反向器（NOT）。
- 与门：两个输入端，一个输出端，当两个输入都闭合时，才满足输出
- 或门：两个输入端，一个输出端，当任意一个输入闭合时，就满足输出
- 与非门：相当于与门 + 反向器
- 或非门：相当于或门 + 反向器
二进制加法器
如果想搭建一台计算机，首先要造出可以计算两数之和的器件。事实上，加法计算是计算机唯一要做的工作。只要我们实现了加法，就可以用加法来实现减法、乘法、除法等等。
二进制数相加，当遇到1+1=10时，结果10的1表示进位位，10的0表示加法位。我们可以用与门来实现进位位的表示。将一个与非门和一个或门连接到共同的输入，再加一个与门，就可以用来实现加法位的表示，这种接法叫做异或门 XOR（奇数个1为1，偶数个1为0）。
现在，与门的结果表示进位位，异或门的结果表示加法位，我们将这两个逻辑门接入共同的输入。这就是一个半加器（Half Adder）。半加器的缺陷是，只能实现1位的二进制数相加，多于1位进位位并不会向左累积。
事实上，二进制数相加，是三个位的相加，输入A、输入B和进位输入。用两个半加器和一个或门就能实现，这种组合称为全加器（Full Adder）。把8个全加器串联起来，就能实现8位二进制数的加法了。最低有效位的一对数字相加所得出的进位输出，作为下一对数字的进位位，以此类推。
回归本质，全加器->半加器->逻辑门->继电器，这一切只不过是许多继电器的组合而已！尽管现在的计算机已经用晶体管代替继电器，但原理都是一样的。
如何实现减法
在十进制中，999-176=823，我们把 823 叫做 176 的补数，计算对9的补数不需要借位。但如果是 253-176=77 呢？个位 3-6 需要向十位借位，不方便机器计算，为了消灭借位，我们可以把上式改为 253 + (999 - 176) + 1 - 1000。但如果是 176-253=-77呢？改造后的式子176 + (999-256) = 922,922-999依然需要借位，但是我们有一个技巧，因为我们已经知道结果为负，直接把被减数和减数调换，999-922=77，再取负，得-77。简而言之，就是被减数与减数的补数之和，跟999相减。这种方法在二进制中非常好用，因为 在二进制中，求对1补数只需要将0变成1，将1变成0即可。
在二进制中，有没有什么办法来表示负数呢？假如我们有一张银行卡，银行允许你透支500元，账户最多储存不超过500元，那涉及的数字是从-500到+499，在三位十进制中，我们的数字是从000-999，000-499的部分用来表示余额，那透支-500到-1部分，为什么不可以用正数来表示呢？也就是，用500表示-500，用501表示-499…用998表示-2，用999表示-1。这就构成了一个循环。
在二进制中，对2的补数表示如下：
| 二进制 | 十进制 |
|---|---|
| 1000 0000 | -128 |
| 1000 0001 | -127 |
| 1000 0010 | -126 |
| 1000 0011 | -125 |
| … | … |
| 1111 1101 | -3 |
| 1111 1110 | -2 |
| 1111 1111 | -1 |
| 0000 0000 | 0 |
| 0000 0001 | 1 |
| … | … |
| 0111 1110 | 126 |
| 0111 1111 | 127 |
可以发现，最高位实际上就是符号位（sign bit），1表示负数，0表示正数。计算对2的补数，先计算对1的补数，再加1。这就是我们熟悉的逐位取反再加一。
所以，计算124-127=-3，实际上只需要将-127和124等价的两个二进制数相加。-127用补码表示为10000001，124用补码表示为01111100，相加得11111101，对应上表就是-3。
补码的本质，就是用 0 - 255 来表示-128 - 127。
n 位加法器本身又可以当一个黑箱来使用：它有两个 n 位输入，一个进位输入，一个进位输出以及一个 n 位输出（加法运算的结果）。利用 2 的补码，减法很容易就可以实现，只需要一个由非门构成的求补器和一个表明符号的输入端。
如何计数
用如上图所示的方法连接电磁铁和导线，可以发现，当开关闭合，电磁铁磁力把横杠向下拉，由于横杠断开，电路断开，电磁铁失去磁力，横杠又复原，随着横杠的复原，电路又被接通了，电磁铁又有了磁力把横杠向下拉……像这样，会不断以恒定的频率在连通、开路之间变化的电路称为振荡器（oscillator），又称为时钟（clock），通过振荡器计数也是一种记时方式。
用两个或非门可以组装一种特殊的电路，接通开关A，灯泡亮，断开A灯泡依然亮着，此时接通开关B灯泡被熄灭，断开B灯泡依然熄灭。当两个开关都断开时，电路有两个稳定态，这类电路统称为触发器（Flip-Flop）。触发器的最大特定是它可以保持信息！它可以让电路“记住”之前发生了什么事情。
最简单的触发器是R-S触发器（Reset-Set，复位/置为），用Q表示输出状态，置位就是把Q设为1，复位就是把Q设为0。除了R-S触发器之外，还有一种D触发器，D表示data（数据端输入），除了数据端输入之外还有一个保持位，保持位为1输出就是数据位输入值，保持位为0输出不再随着数据位变化而变化。跟这种触发器相同的电路就是所谓的电平触发D型锁存器，它表示电路锁存住一位数据并保持它，以便将来使用。也称为1位存储器。可以把8个1位锁存器的时钟输入端（保持位）连在一起，构成8位锁存器。加法器计算的结果，可以存放在锁存器里面。
还有一种触发器，只有当电平从0变化到1的瞬间数据端的输入才会影响输出。这种触发器叫边沿触发器（edge-triggered）。我们可以用振荡器作为时钟端的的输入，这样时钟端就不断地在0、1之间切换，从而在规律的时间里影响输出，从而实现计数功能。
将一个振荡器与边沿触发的触发器连到一起，输出结果与振荡器类似，但是频率减半，这是一个分频器。分频器可以继续连接下去，得到时钟频率四分之一、八分之一……的信号。通过控制计数频率，我们就得到了计数器。
字节与十六进制
在构造加法器、锁存器等组件时，为什么总喜欢用8位比特流而不是6位、7位或10位呢？其实没有什么特别的原因，只是因为使用8位时，一切工作都显得特别的方便。最早在1956年IBM公司就提出用一个字节（byte）表示8位比特（bit）。一个字节的取值范围从0000 0000 到 1111 1111，代表2^8，即 256 种不同的事物。世界上大部分书面语言的字符都少于 256 个，因此 1 个字节就足以保存不同的文本符号（例如ASCII码）。当然中文、日文等象形文字远远超过256个，然而世界上没有什么是 1 个字节解决不了的，如果有，那就 2 个。所以，2 个字节可以表示 65536 个不同的事物，足以覆盖绝大多数的汉字。
一个8位二进制数，比如10110110，这种表达方式虽然足够直观和自然，但是不够简洁。用十进制表示要经过一系列换算显然更不方便。八进制（最大值为111）3位一组，不太适合。十六进制（最大值1111）正好是两个半字节。1011是十六进制的B，0110是十六进制的6，用B6h表示10110110即直观又方便。
存储器
由一个反向器、两个与门、两个或非门构成的D型电平触发器，本质上也是一个1位锁存器。保持位（时钟输入）在这里叫做写操作端，写操作端置为1（之后再置为0），数据输入的结果会被写入到输出端中，这个过程我们叫做存储（stored）。把8个1位锁存器组织成8位锁存器，就可以存储8位二进制数。
然而，假如我们只有一个灯泡可以鉴别输出，对于8位二进制数我们要把灯泡依次连接在8位锁存器的每一个锁存器上面，才能知道每一位的输出是0还是1，这有点麻烦。我们不妨直接在输出端用一个灯泡，再在电路中用3个开关来表示 0 到 7 这 八个数（000-111），通过打开关来鉴别每一位的输出，例如，开关（选择端）为101的时候，输出D5锁存器的值，为001的时候，输出D1锁存器的值。这种用开关来选择应该输出哪个锁存器的值的装置叫做8-1选择器。
还有一个问题，8个1位锁存器连接，数据输入端可以连在一起，但是写操作端却不可以，因为我们很可能要向每个锁存器依次写入数据。我们还是可以用3个开关，来表示我们要把哪个锁存器的写端置1，比如，开关为101的时候，将D5锁存器的写操作端置1，D5的数据端就会写入到输出端。这种装置跟选择器功能类似，作用相反，叫做3-8译码器。
现在，我们有一个3-8译码器、1个8位锁存器（由8个1位锁存器组成）、1个8-1选择器组装起来的家伙。选择器利用 n 位信号（地址）选择总共 2^n 位的锁存器（数据）中哪一位被访问，这样的装置叫做随机访问存储器（Random Access Memory，RAM），或者叫读/写存储器（read/write memory）。之所以叫做随机访问存储器，是因为读写操作很自由，我们只需要改变地址及相关的输入，就可以从8个锁存器中读出或写入需要的数据。
RAM通过特殊的配置可形成RAM阵列（Array）。2个RAM共享写操作端和开关（也叫地址），就形成8×2的RAM阵列，表示可存储的二进制数依然是8个，但位宽位2位。或者，在RAM的输入加多1-2译码器，输出加多一个2-1选择器，变成16×1的RAM阵列，表示存储容量为16。
这样，我们就可以构造任意大小的RAM阵列了。注意，我们现在所构造的RAM，本质上里面都是一个个由电磁铁组成的逻辑门组件，如果断电，这些电磁铁都会失去磁性，然后金属片弹回原位，所有继电器都还原到未触发状态，RAM中存储的数据都会丢失，因此随机访问存储器（RAM）也叫做易失性（volatile）存储器，一旦断电数据就会丢失。
自动操作
用8位加法器和8位锁存器，可以先输入一个数到加法器中，然后储存到锁存器里，通过开关往加法器输入第二个数，再将锁存器的值与加法器的数相加，不断循环这种操作，就可以计算多个数的和。用来累加多个数的锁存器称为累加器（accumulator）。
但假如，我们不需要把100个数加在一起，而只是想分别计算100个数某几个之和然后分别存储。这时候可以用存储器RAM来读取数据和保存结果。当然，我们需要振荡器和16位计数器，来选取RAM里面哪个数（地址）该送往累加器里面，然后通过计算，把结果送回RAM里特定的地址。我们把这套装置叫做自动累加器。
实际上我们希望自动累加器完成四件事：第一，把一个字节从存储器传送到累加器中，这个过程叫做加载（load）；第二，把存储器中的另一个字节加（Add）到累加器的内容中去；第三，把累加器中的计算结果取出并存回存储器中（store）;第四，需要一个方法让自动加法器停下来（Halt）。
既然我们有一些需要求和的数据，又有4种操作，为什么不用另一个RAM来存放4种操作，然后通过控制面板决定当前要执行哪种操作呢？于是我们加多一个RAM，用来存储操作码，如 10h 表示 Load， 11h表示 Store，20h表示 Add，FFh表示Halt。**这被称为指令码(instruction code)或者操作码(operation code)**。他们用来指示电路要执行哪种操作。通过对电路进行改进，我们可以实现更多的操作码，例如减法(Subtract)、进位加法(Add with Carry)、地址跳转（Jump）等。
事实上，没有必要使用两个RAM来分开数据和指令，用3字节长的指令格式，即存放指令本身，也存放操作数所在的存储地址。
计算机
能否控制重复操作或者循环（looping）是计算机（computer）和计算器（calculator）的区别。至此，我们可以说我们已经造出了一台原始的计算机，包含四个部分：处理器（processor）、存储器（memory）、至少一个输入设备（input）和输出设备（output）。处理器也叫做中央处理单元（central processing unit，CPU），处理器内部又分为算术逻辑单元（ALU）和程序计数器（PC）。在我们的例子中，ALU由8位反向器和8位加法器构成，只能加减运算，实际上更高级的ALU还能进行逻辑运算。PC由16位计数器构成。
后来，随着科技的发展，渐渐地用真空管替代了继电器，再之后随着半导体技术的崛起，晶体管又替代了真空管。人们才得以把这些逻辑门组件（加法器、累加器、选择器、译码器）集成在微小的电子电路里面，集成电路（IC）得以发展，后来演变成微处理器。微处理器是计算机的大脑。
机器语言和汇编语言
操作码在计算机里面，也叫做机器码或者机器语言，表示可以被计算机处理器响应的代码。例如指令代码10h表示加载（Load），11h表示加法（Add），编写代码时，程序员可能难以记住这些代码的意思，因此我们用一些助记符来帮助我们辨认，如用 LOD 表示 Load，用 SUB 表示 Subtract，用 JMP 表示 Jump 等等。数据存放的位置也不用实际的地址，而是用标号（label）来指代，如 2000h 存放结果，我们用 RESULT 代替。于是，我们的程序就演变成这样：
1 | BEGIN: LOD A, [RESULT + 1] |
这就是汇编语言（assembly language）。
字符编码
现在，我们已经能用计算机表示数字并进行计算了。但如果要显示文本呢？业界常用ASCII码（美国信息交换标准码）来将十六进制编码映射为字符，ASCII码是7位二进制数，一般用十六进制表示，从00h ~ 7Fh。例如，30h表示字符0（不是数字0），41h表示字符A。ASCII码包括95个图形字符和33个控制字符，例如09h表示水平制表符，当计算机遇到 41 09 42 这样的ASCII码，会输出A B，中间的 tab 空格，就是控制字符09h的含义。
ASCII码也有不足的地方，例如无法统一各国的语言符号（尤其是像中文这样的象形文字）。这导致各国都有自己的一套编码系统，例如中国有国标GBK编码。1988年开始，几大著名计算机公司决定合作研究一套统一的编码系统，取名 Unicode，采用16位编码，每个字符 2 个字节，范围从 0000h ~ FFFFh，总共可以表示65536个不同的字符。
磁盘
之前，我们用RAM来存储信息，但是RAM会随着断电而丢失数据。最早人们是通过纸带打孔卡片的方式来保存永久信息。后来丹麦发明家波尔森发明了世界上第一块可用的磁介质存储器。这种设备记录和读取信息是利用电磁铁的磁头（head）来完成的，磁盘的表面被划分为许多同心圆，称为磁道（tracks），每个磁道又被划分为扇形的扇区（sectors），每个扇区可以存放一定数量的字节。微处理器不能直接从磁盘读取数据，而是要先将所需的数据载入内存中，然后才能对其进行访问。
时至今日，磁盘又被分为软盘和硬盘，硬盘又分为机械硬盘和固态硬盘，但固态硬盘的原理跟磁盘已经不是一回事了。
- 参考资料：《编码——隐匿在计算机软硬件背后的语言》